Cp/Cpk 算錯的三種方式

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• 問題
• 錯誤一:用整體 sd 當 sigma
  • 差距有多大
  • 但用整體 sd 算出來的東西不是垃圾
  • 正確寫法
• 錯誤二:Ca 的基準寫死成規格中心
• 錯誤三:拿分組平均去比規格界限
  • 正確的分法
• 順帶一提:判異法則的誤報是正常的
• 你該檢查的

程式碼:examples/r/spc/

問題

這段程式看起來完全合理:

calc_cp <- function(data, usl, lsl) {
  sigma <- sd(data$Size)          # ← 問題在這一行
  (usl - lsl) / (6 * sigma)
}

它跑得出數字,數字看起來也很正常。但它算的不是 Cp。

錯誤一:用整體 sd 當 sigma

Cp/Cpk 定義裡的 sigma 是組內標準差(within-subgroup),要從 R̄ 推估:

sigma_within = R-bar / d2

sd(x) 算的是整體標準差,包含了組內變異加上組間變異。兩者只有在製程完全沒有漂移時才相等。

差距有多大

用一組「組內很穩、但組間會漂」的模擬資料(組內 sd = 0.01,組平均在 79.80~79.95 之間跳):

sigma 組內 = 0.01167     sigma 整體 = 0.04215

Cp  = 4.286   Cpk = 3.690    ← 用組內(正確的 Cp/Cpk)
Pp  = 1.186   Ppk = 1.021    ← 用整體(其實是 Pp/Ppk)

差了 3.6 倍。 一個說「製程能力綽綽有餘」,一個說「勉強及格」。

但用整體 sd 算出來的東西不是垃圾

它有自己的名字:Pp / Ppk(製程績效指數)。

指標	用哪個 sigma	回答什麼問題
Cp / Cpk	組內 R̄/d2	這台機器有沒有能力做到?
Pp / Ppk	整體 sd(x)	實際交出去的東西表現如何?

所以那段程式不是算錯,是標籤掛錯。把 Pp 叫成 Cp,溝通就會出事——客戶要 Cpk ≥ 1.33,你報了一個被低估的數字,等於自己扣自己分。

兩個都算,一起報。差距本身就是資訊。

• Cp ≈ Pp → 製程穩定,沒有漂移
• Cp ≫ Pp → 機器有能力,但製程中心在漂 → 該找的是漂移原因(換料、換班、刀具磨耗、溫度),不是換機器

正確寫法

capability <- function(x, n, usl, lsl, target = NULL) {
  lim     <- xbar_r_limits(x, n)      # 只用完整分組
  sigma_w <- lim$sigma_within         # = R-bar / d2
  sigma_o <- sd(x)
  mu      <- mean(x)
  if (is.null(target)) target <- (usl + lsl) / 2

  list(
    Cp  = (usl - lsl) / (6 * sigma_w),                  # 能力
    Cpk = min(usl - mu, mu - lsl) / (3 * sigma_w),
    Pp  = (usl - lsl) / (6 * sigma_o),                  # 績效
    Ppk = min(usl - mu, mu - lsl) / (3 * sigma_o),
    Ca  = (mu - target) / ((usl - lsl) / 2)
  )
}

完整版(含防呆與 sigma = 0 的處理)在 spc.R。

錯誤二:Ca 的基準寫死成規格中心

常見寫法:

ca <- (mean(data$Size) - (usl + lsl)/2) / ((usl - lsl)/2)

Ca 量的是「製程中心離目標值多遠」。預設用規格中心當目標沒錯,但有些製程的目標本來就刻意不在中間。

規格 USL = 80、LSL = 79.7,規格中心是 79.85。 但如果目標值訂在 79.9(例如刻意偏向上限留餘裕,或下限那側的失效後果比較嚴重), 那 Ca 就該以 79.9 為基準。用 79.85 算會得到 0.139,用 79.9 算是 −0.194—— 一個說偏上,一個說偏下,結論完全相反。

如果介面上已經有一個獨立的「中心線 CL」輸入欄,卻沒有被 Ca 用到,那就是 bug:

# 讓 target 可以傳入,不要寫死
capability(x, n, usl, lsl, target = input$cl)

錯誤三:拿分組平均去比規格界限

這種寫法很常見:

avg_df$異常 <- (avg_df$Size > UCL) | (avg_df$Size < LCL) |
               (avg_df$Size > usl) | (avg_df$Size < lsl)   # ← 這兩項是錯的

分組平均永遠不該跟規格界限比。

理由是統計上的:n 個值取平均之後,散布會縮小成原來的 1/√n。

個別值 sigma        = 0.01167
N=5 分組平均 sigma  = 0.00522   (= 0.01167 / √5)

所以分組平均幾乎永遠不會超出規格,即使已經有個別值超出了。把它畫進「異常」判定裡:

• 對抓規格違反來說 → 形同無效,給人「製程很穩」的錯覺
• 對抓製程失控來說 → 混進了不該有的條件,污染了管制圖的語意

管制界限和規格界限是兩套獨立的東西,不要混在同一個旗標裡。

• 管制界限(UCL/LCL) ← 由製程自己的變異算出來,比的是分組平均,回答「製程穩不穩」
• 規格界限(USL/LSL) ← 客戶或標準要求,比的是個別值,回答「這件東西能不能出貨」

正確的分法

# 製程失控:只看管制界限,只看分組平均
signals <- nelson_rules(lim$stats$xbar, lim$xbar_cl, lim$xbar_ucl, lim$xbar_lcl)

# 規格違反:只看個別值
violations <- spec_violations(x, usl, lsl)

兩張表分開看。一個製程可以:

情況	意思
管制內 + 規格內	正常
管制內 + 規格外	製程穩定,但能力不足——穩定地做出不良品
管制外 + 規格內	有異常訊號,雖然還沒做出不良品,但趨勢不對
管制外 + 規格外	失控且已經出問題

第三種是管制圖真正的價值:在還沒做出不良品之前就示警。把規格混進管制判定,就是把這個能力關掉。

順帶一提:判異法則的誤報是正常的

3-sigma 界限本身就有約 0.27% 的誤報率。20 個點大約有 5% 的機率會出現一個「假的」失控點。

這代表兩件事:

1. 寫測試時不要斷言「穩定製程不該有任何訊號」——那種測試會隨機失敗。要驗的是誤報率:

   fa <- sapply(1:300, function(s) {
     set.seed(s); v <- rnorm(100, 79.86, 0.012); l <- xbar_r_limits(v, 5)
     sum(nelson_rules(l$stats$xbar, l$xbar_cl, l$xbar_ucl, l$xbar_lcl)$rule1)
   })
   mean(fa)   # 0.070,理論值 20 * 0.0027 = 0.054 ✓
   

2. 現場看到單一一個超出界限的點,先複驗再說,不要立刻停線。連續的、有方向性的訊號(連續 9 點同側、連續 6 點遞增)比單點超出更值得緊張。

你該檢查的

如果你手上有在跑的管制圖工具:

• Cp/Cpk 用的是 R̄/d2 還是 sd(x)?用 sd(x) 的話,那是 Pp/Ppk
• Ca 的基準是規格中心還是目標值?介面上的 CL 欄位有沒有被用到?
• 「異常點」的判定裡有沒有混進 USL/LSL?
• 個別值對規格的檢查在哪裡做?有沒有做?